مرتضی منیری

در این مقاله به گزاره های مطلقاً اثبات ناپذیر از دیدگاه شهودگرایی براوئری می پردازیم. بنا به تعریف براوئر، یک گزاره مطلقاً اثبات ناپذیر است هرگاه ذهن آفریننده به عنوان ریاضیدانی ایده آل اثباتی داشته باشد مبنی بر اینکه هم خود آن گزاره و هم نقیض آن از منظر ساختی اثبات ناپذیر است. براوئر نشان داده است که وجود چنین گزاره هایی ممکن نیست. مارک فان آتن در کتاب خود در مورد براوئر و شهودگرایی، اثبات کوتاه براوئر در این مورد را بیان کرده و شرح و تفصیل داده است. مترجم فارسی این کتاب نیز به دو شکل مختلف این اثبات را بازسازی کرده و توضیح داده است. در این مقاله بازسازی مناسب تری از اثبات براوئر ارائه می دهیم. در ادامه، به کار گودل در زمینه گسترش حکم براوئر از منطق گزاره ها به منطق محمولات مرتبه اول خواهیم پرداخت. به علاوه اشاره خواهیم کرد که این گونه صوری سازی های ایده های شهودگرایانه در زبان منطق، نمی توانند حق مطلب را درمورد ایده های براوئر ادا کنند.

در سال های اخیر، برخی از کتاب های فلسفه ریاضی به فارسی ترجمه شده اند. متأسفانه در برخی موارد، این ترجمه ها نارسا و حتی گمراه کننده می باشند. به نظر می رسد که بررسی و نقد این ترجمه ها می تواند به اصلاح و بهبود این وضعیت کمک کند. در این نوشته پس از مروری مختصر بر کتاب فلسفه ریاضی تألیف کولی ون، به مروری گزینشی بر ترجمه این کتاب می پردازیم. کتاب فلسفه ریاضی کولی ون متنی مقدماتی در زمینه فلسفه ریاضی است. این کتاب برای دوره های کارشناسی و کارشناسی ارشد در دانشگاه های استرالیا و ایالات متحده آمریکا نوشته شده است. هرچند مخاطبان اصلی این کتاب دانشجویان فلسفه هستند، اما به نظر می رسد که پیش نیاز فلسفی زیادی نمی طلبد و برای دانشجویان ریاضی نیز قابل استفاده است. مشخصات ترجمه و متن اصلی به قرار زیر است: 1. کولی ون، مارک (1397). درآمدی بر فلسفه ریاضی معاصر، ترجمه کامران شهبازی، تهران: نقد فرهنگ. 2. Mark Colyvan (2012). An Introduction to the Philosophy of Mathematics.

ابتدا، در پرتو آراء ففرمن، به بررسی دوگانه گودل می پردازیم مبنی بر اینکه یا توانایی های ذهن انسان از هر ماشین متناهی فراتر است، و یا معادلات ریاضی از نوع دیوفانتی وجود دارند که به طور مطلق حل ناپذیر هستند. سپس برهان پاتنم را بررسی می کنیم مبنی بر این که اگر توانایی علمی ذهن انسان را بتوان توسط یک ماشین تورینگ با توانایی تهیه سیاهه ای از نتایج علمی شبیه سازی کرد، این ماشین جمله ای که این توانایی را بیان می کند را به عنوان خروجی ارائه نخواهد کرد. در تلاش برای فهم بهتر این برهان، آن را در زبان منطق وجهی بازسازی می کنیم. در ادامه، به امکان رایانه های خارق العاده برای انجام تعدادی بی شمار عمل پایه ای محاسباتی در زمان متناهی می پردازیم. این امکانی است که اخیراً بر اساس نظریه های جدید فیزیکی مطرح شده است. استدلال می کنیم با فرض تحقق چنین امکانی، حساب مرتبه اول متعین خواهد بود، به این معنی که صادق یا کاذب بودن هر جمله حسابی توضیح پذیر خواهد بود.

نظریه مدل محدود را می توان بخشی از نظریه مدل دانست که هدف آن بررسی مفاهیم و نتایج نظریه مدل در یک زبان شامل یک رابطه ترتیبی است در حالتی که سورهای مورد بحث همگی از نوع محدود هستند. از نظریه مدل محدود می توان برای مطالعه مسائل مربوط به نظریه حساب محدود استفاده کرد. حساب محدود را می توان زیرنظریه ای از حساب مرتبه اول پئانو در زبانی گسترش یافته دانست. خود حساب محدود، کاربردهای فراوانی در نظریه پیچیدگی محاسبات دارد. با تعریف و مطالعه مفاهیم پایه ای نظریه مدل در حالت محدود مانند حذف سور محدود و مدل کامل محدود، نتایج جالبی در نظریه مدل با کاربردهایی در نظریه پیچیدگی محاسبه و حساب محدود به دست آمده است. در این مقاله، ضمن مروری بر نتایج موجود در این زمینه، برخی مفاهیم و نتایج جدید را در این راستا ارائه می کنیم و ارتباط های آن ها را با برخی مسائل بنیادی در نظریه پیچیدگی محاسبه مطالعه می کنیم.

در ابتدا برخی موضوع های بحث برانگیز در حوزه منطق ریاضی را بررسی می کنیم. این ها موضوع هایی هستند که معمولاً غیرمتخصصان را به دردسر و گاهی اشتباه می اندازند. موضوع های عمده ای که در این راستا به آن ها خواهیم پرداخت عبارتند از: تعریف صدق تارسکی، قضیه تعریف ناپذیری صدق تارسکی، قضیه تمامیت گودل و قضیه های ناتمامیت گودل، منطق مرتبه اول و مرتبه دوم. در ادامه، به معرفی برخی منطق های غیرکلاسیک و جایگاه آن ها در منطق فلسفی و همچنین منطق در علوم کامپیوتر می پردازیم. افزون بر آن، برخی موضوع های فلسفی مرتبط به منطق را به بحث می گذاریم. از زمره این موضوع ها، پرسش از چیستی منطق، تفاوت منطق و دستگاه منطقی و چالش یگانه گرایی در مقابل کثرت گرایی در انتخاب منطق است. با تفکیک منطق از دستگاه منطقی، از این دیدگاه دفاع خواهیم کرد که منطق ریاضی به عنوان بخشی از ریاضیات، تنها می بایست متعهد به رعایت استانداردهای خود ریاضیات باشد. در این راستا، هر یک از دستگاه های منطق غیرکلاسیک که این استانداردها را رعایت کند، مشروعیت خواهد داشت.